Os 4 termos principais da matemática financeira

Quase toda conta de juros envolve quatro elementos. Se você conhece três deles, consegue descobrir o quarto.

As teclas da HP 12C vêm do inglês: PV é present value (valor presente), FV é future value (valor futuro) e PMT é payment (pagamento). Por isso, em muitos livros, capital e montante também são chamados de valor presente e valor futuro.

Capital: o ponto de partida

O capital é o valor inicial de uma operação. Depende de que lado você está:

• No investimento: é quanto você aplicou. Se você colocou R$ 3.000 num CDB, esse é o capital.
• No empréstimo: é quanto você pegou emprestado. Se o banco liberou R$ 10.000 na sua conta, esse é o capital.
• Na compra a prazo: é o preço à vista do produto, o valor que estaria sendo “financiado”.

Outros nomes para capital: principal, valor presente, valor atual, valor aplicado ou valor financiado.

Montante: onde você chega

O montante é o capital mais os juros, ou seja, o valor no final do prazo:

M = C + J

Exemplo: você aplica R$ 3.000 a 1% ao mês por 6 meses, em juros compostos. O montante é 3.000 × 1,01^6 = R$ 3.184,56. Os juros são a diferença: 3.184,56 − 3.000 = R$ 184,56.

Atenção a uma confusão muito comum: juros não são o montante. Juros são só o que foi acrescentado. Na pergunta “quanto rendeu?”, a resposta são os juros. Na pergunta “quanto vou ter?”, a resposta é o montante.

Outros nomes para montante: valor futuro, valor final, valor de resgate ou valor acumulado.

Taxa de juros: o preço do dinheiro no tempo

A taxa de juros é o percentual que remunera o dinheiro em cada período. Para quem empresta, é o ganho. Para quem pega emprestado, é o custo. Ela sempre vem acompanhada de uma unidade de tempo: 1% ao mês, 12% ao ano, 0,04% ao dia.

Nas contas, a taxa entra em decimal: 1% vira 0,01, e 12% vira 0,12. Na HP 12C, ela entra em percentual: você digita 1 e aperta i.

Existem vários “tipos” de taxa, e eles confundem muita gente. Os principais:

A taxa real tem uma conta própria: (1 + rendimento) ÷ (1 + inflação) − 1. No exemplo: 1,105 ÷ 1,045 − 1 = 0,0574, ou seja, 5,74%, e não os 6% que a subtração simples daria. Cada tipo de taxa terá um post próprio nesta trilha.

Prazo: quanto tempo a operação dura

O prazo é o número de períodos da operação. A regra mais importante de toda a matemática financeira é esta: o prazo e a taxa precisam estar na mesma unidade.

• Taxa ao mês → prazo em meses.
• Taxa ao ano → prazo em anos.
• Taxa ao dia → prazo em dias.

Se a taxa é de 1% ao mês e o prazo é de 2 anos, use n = 24, e não n = 2. Errar a unidade é o erro número um de quem está começando, e muitas questões de prova são feitas justamente para testar isso.

Um detalhe: no mercado financeiro, muitas taxas anuais consideram 252 dias úteis por ano, e não 365 dias corridos. É o caso do CDI e da Selic. Em contas do dia a dia, porém, o mais comum é usar meses de 30 dias e anos de 360 ou 365 dias.

Juros: a diferença entre o início e o fim

Os juros são a remuneração do capital ao longo do prazo. Podem ser calculados de duas formas, que já vimos em detalhes nesta trilha:

• Juros simples: J = C × i × n. A taxa incide sempre sobre o capital inicial.
• Juros compostos: J = C × [(1 + i)^n − 1]. A taxa incide sobre o valor acumulado.

A forma de cálculo também tem nome técnico: regime de capitalização. Fala-se em “regime de capitalização simples” e “regime de capitalização composta”.

Exemplo completo: lendo uma compra parcelada

Uma loja vende um celular por R$ 2.400 à vista ou em 12 parcelas de R$ 230, sem entrada. Vamos identificar cada termo:

A taxa não aparece no anúncio, mas dá para descobrir com a HP 12C:

f FIN 2400 PV 230 CHS PMT 12 n i → 2,22% ao mês

Em um ano, isso equivale a 1,0222^12 − 1 = cerca de 30,1% ao ano. Agora você tem um número para comparar com outras formas de pagamento. Esse tipo de conta será o tema do post sobre juros embutidos em compras parceladas.

Glossário: outros termos que você vai encontrar

Prestação ou parcela (PMT)

Cada pagamento periódico de um financiamento ou de uma série de depósitos. Na HP 12C, é a tecla PMT.

Valor presente e futuro

Valor presente é literalmente o de hoje. O futuro é quanto ele valerá depois de um prazo, com os juros. São sinônimos de capital e montante, mas usados quando se fala em trazer ou levar valores no tempo.

Fluxo de caixa

A lista de entradas e saídas de dinheiro de uma operação, com a data de cada uma. Na HP 12C, as saídas entram com sinal negativo (tecla CHS) e as entradas com sinal positivo.

Amortização

A parte da prestação que reduz a dívida de verdade. O resto da prestação são os juros. Nos sistemas Price e SAC, a divisão entre juros e amortização muda a cada mês.

Saldo devedor

Quanto ainda falta pagar de um empréstimo ou financiamento, sem contar os juros futuros.

Carência

Um período no início do contrato em que você não paga prestações, ou paga só os juros. Os juros continuam correndo durante a carência.

CET (Custo Efetivo Total)

A taxa que soma tudo o que você paga em um crédito: juros, tarifas, seguros e impostos como o IOF. Os bancos são obrigados a informar o CET, e ele é o melhor número para comparar ofertas de crédito.

Rentabilidade bruta e líquida

Bruta é o rendimento antes dos descontos. Líquida é o que sobra depois do Imposto de Renda e das taxas. Em investimentos de renda fixa como o CDB, o IR é descontado no resgate.

Como esses termos aparecem na HP 12C

A fileira de cima da HP 12C tem as cinco teclas financeiras, na ordem n, i, PV, PMT e FV. Funciona assim: você informa quatro desses valores e aperta a tecla do quinto, e a calculadora faz a conta.

• Antes de começar: limpe a memória com f FIN.
• Sinais: dinheiro que sai do seu bolso entra negativo, com CHS. Dinheiro que volta entra positivo.
• Unidades: a taxa em i precisa estar no mesmo período do prazo em n.

Exemplo do CDB deste post: f FIN 3000 CHS PV 1 i 6 n FV → 3.184,56. Teste na nossa HP 12C online grátis.

Erros comuns

• Confundir juros com montante: juros são só o acréscimo. O montante é o valor total no final.
• Taxa e prazo em unidades diferentes: taxa ao mês com prazo em anos dá resultado errado. Converta antes.
• Subtrair a inflação do rendimento: a taxa real se calcula por divisão, (1 + rendimento) ÷ (1 + inflação) − 1, e não por subtração.
• Olhar só a taxa de juros do crédito: o custo de verdade é o CET, que inclui tarifas, seguros e IOF.

Exercício para treinar

Uma loja oferece uma geladeira por R$ 1.800 à vista ou em 12 parcelas de R$ 170. Identifique o capital, a prestação e o prazo, calcule os juros totais e descubra a taxa mensal.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre capital e montante?

Capital é o valor no início da operação. Montante é o valor no final, ou seja, o capital mais os juros.

O que significa PV, FV e PMT na HP 12C?

PV é o valor presente (o capital), FV é o valor futuro (o montante) e PMT é o valor de cada pagamento ou depósito periódico. As siglas vêm do inglês.

Por que a taxa e o prazo precisam estar na mesma unidade?

Porque a fórmula conta quantas vezes a taxa é aplicada. Se a taxa é mensal, cada período precisa ser um mês. Misturar unidades faz a conta aplicar a taxa o número errado de vezes.

O que é regime de capitalização?

É a forma como os juros são calculados ao longo do tempo. No regime de capitalização simples, os juros incidem só sobre o capital. No regime de capitalização composta, incidem também sobre os juros já acumulados.

Leia também

• Post anterior da trilha: Juros Simples x Juros Compostos: Qual a Diferença.
• Próximo post da trilha: Como Usar a HP 12C: Guia para Iniciantes (em breve).
• Matemática Financeira: O Guia Completo para Iniciantes, o ponto de partida da trilha.

Conteúdo educativo. Os exemplos usam valores e taxas ilustrativos.

O post Capital, Montante, Taxa e Prazo: Os Termos da Matemática Financeira apareceu primeiro em Notícias e Finanças.

O que é matemática financeira

Matemática financeira é a parte da matemática que estuda o valor do dinheiro ao longo do tempo. A ideia central é simples: R$ 100 hoje valem mais do que R$ 100 daqui a um ano, porque o dinheiro de hoje pode ser aplicado e render juros, e porque a inflação reduz o que o dinheiro do futuro compra.

Ela é usada em empréstimos, financiamentos, compras parceladas, investimentos, aposentadoria e na análise de projetos de empresas. Também é cobrada em provas de certificação, como a CPA da ANBIMA, e em concursos.

Os 5 termos que você precisa conhecer

Regra de ouro: a taxa e o prazo precisam estar no mesmo período. Taxa ao mês pede prazo em meses; taxa ao ano pede prazo em anos.

Porcentagem: o ponto de partida

Quase tudo em finanças é porcentagem. “Por cento” quer dizer “dividido por 100”: 15% é o mesmo que 0,15.

• Calcular uma porcentagem: 15% de R$ 200 = 200 × 0,15 = R$ 30.
• Aplicar um desconto: R$ 200 com 15% de desconto = 200 × (1 − 0,15) = R$ 170.
• Aplicar um aumento: R$ 200 com aumento de 15% = 200 × (1 + 0,15) = R$ 230.
• Variação percentual: de R$ 200 para R$ 230 = (230 ÷ 200 − 1) × 100 = 15%.

Juros simples

Nos juros simples, os juros são calculados sempre sobre o capital inicial. O valor dos juros é o mesmo em todos os períodos.

Fórmula: J = C × i × n e M = C + J

Exemplo: R$ 1.000 a 1% ao mês, por 12 meses.
J = 1.000 × 0,01 × 12 = R$ 120. Montante = R$ 1.120.

Os juros simples aparecem em poucas situações do dia a dia, como multas e juros de atraso em algumas contas.

Juros compostos

Nos juros compostos, os juros de cada período entram no cálculo do período seguinte. É o famoso “juros sobre juros”, usado em praticamente todos os investimentos, empréstimos e financiamentos.

Fórmula: M = C × (1 + i)ⁿ

Exemplo: os mesmos R$ 1.000 a 1% ao mês, por 12 meses.
M = 1.000 × (1,01)¹² = R$ 1.126,83.

Juros simples x compostos lado a lado

No começo a diferença é pequena, mas com o tempo os juros compostos crescem muito mais rápido. Por isso começar a investir cedo faz tanta diferença.

Taxa equivalente: de mensal para anual

Nos juros compostos, 1% ao mês não é 12% ao ano. Para converter, use a taxa equivalente:

Fórmula: taxa anual = (1 + taxa mensal)¹² − 1

Exemplo: (1,01)¹² − 1 = 0,1268 = 12,68% ao ano. O mesmo raciocínio vale para o caminho inverso: para saber a taxa mensal de 12% ao ano, faça (1,12)^(1/12) − 1 = 0,949% ao mês.

Valor presente e valor futuro

O valor futuro (FV) responde: “quanto este dinheiro vai valer lá na frente?”. O valor presente (PV) faz a pergunta ao contrário: “quanto vale hoje um valor que vou receber no futuro?”.

Fórmula do valor presente: PV = FV ÷ (1 + i)ⁿ

Exemplo: quanto vale hoje receber R$ 10.000 daqui a 2 anos, se você consegue 10% ao ano? PV = 10.000 ÷ (1,10)² = R$ 8.264,46.

Parcelas de um financiamento

No Brasil, a maioria dos empréstimos usa a Tabela Price, em que todas as parcelas têm o mesmo valor.

Fórmula: PMT = PV × i ÷ [1 − (1 + i)⁻ⁿ]

Exemplo: empréstimo de R$ 10.000 em 12 parcelas, com juros de 2% ao mês.
PMT = 10.000 × 0,02 ÷ [1 − (1,02)⁻¹²] = R$ 945,60 por mês. No total, você paga R$ 11.347,20, ou seja, R$ 1.347,20 de juros.

Inflação e rentabilidade real

Ganhar dinheiro não é o mesmo que ganhar poder de compra. Para saber quanto você ganhou de verdade, desconte a inflação:

Fórmula: rentabilidade real = (1 + rentabilidade) ÷ (1 + inflação) − 1

Exemplo: um investimento rendeu 12% no ano e a inflação foi de 5%. Rentabilidade real = 1,12 ÷ 1,05 − 1 = 6,67%, e não 7%. Veja como diferentes investimentos se saíram contra a inflação no nosso simulador de investimentos.

Um passo além: VPL e TIR

Quando um investimento tem vários pagamentos e recebimentos ao longo do tempo, usamos duas ferramentas:

• VPL (valor presente líquido): traz todos os valores para hoje e soma. VPL positivo indica que o investimento rende mais que a taxa exigida.
• TIR (taxa interna de retorno): é a taxa que deixa o VPL igual a zero. Funciona como a “rentabilidade” do projeto.

Esses dois conceitos são mais avançados e terão posts próprios nesta trilha.

Como fazer as contas na HP 12C

A HP 12C usa a lógica RPN: você digita os números primeiro e a operação depois. Para as contas de juros compostos, ela tem cinco teclas financeiras: n, i, PV, PMT e FV. Você informa quatro delas e a calculadora encontra a quinta.

Exemplo 1: juros compostos (R$ 1.000 a 1% por 12 meses)

f CLx → 12 n → 1 i → 1000 CHS PV → FV
Resultado: 1.126,83

Exemplo 2: parcela do empréstimo (R$ 10.000 em 12x a 2%)

f CLx → 12 n → 2 i → 10000 PV → PMT
Resultado: −945,60. O sinal negativo só indica que o dinheiro sai do seu bolso.

Não tem a calculadora? Use a nossa calculadora HP 12C online grátis, com estes e outros exemplos guiados, em que uma mãozinha mostra as teclas sendo apertadas.

Erros comuns de quem está começando

• Misturar períodos: usar taxa ao ano com prazo em meses.
• Somar taxas mensais: achar que 1% ao mês é igual a 12% ao ano.
• Esquecer a inflação: olhar só o rendimento nominal.
• Esquecer de limpar a HP 12C: não apertar f CLx antes de uma conta nova e usar valores da conta anterior.

Exercício para treinar

Você aplica R$ 5.000 a 0,8% ao mês por 24 meses, em juros compostos. Quanto terá no final?

Resposta: M = 5.000 × (1,008)²⁴ = R$ 6.053,73. Na HP 12C: f CLx → 24 n → 0,8 i → 5000 CHS PV → FV.

Trilha de matemática financeira: do básico ao avançado

Este guia é o ponto de partida. Cada tema abaixo vai ganhar um post completo, com fórmulas, exemplos e exercícios:

Básico

• Como calcular porcentagem: aumento, desconto e variação
• Juros simples: o que é, fórmula e exemplos
• Juros compostos: o que é, fórmula e exemplos
• Juros simples x juros compostos: qual a diferença
• Capital, montante, taxa e prazo: os termos da matemática financeira
• Como usar a HP 12C: guia para iniciantes

Intermediário

• Taxa equivalente e taxa nominal x efetiva
• Valor presente e valor futuro
• Como calcular a parcela de um financiamento
• Juros embutidos e à vista ou parcelado
• Inflação e rentabilidade real
• Quanto guardar por mês para chegar a uma meta

Avançado

• Tabela Price x SAC e amortização
• Fluxo de caixa, VPL e TIR
• Matemática financeira para a CPA
• Exercícios de matemática financeira resolvidos

Perguntas frequentes

Matemática financeira é difícil?

Não. Com os cinco termos básicos (capital, taxa, prazo, juros e montante) e as fórmulas de juros compostos, você já resolve a maior parte das contas do dia a dia.

Qual a diferença entre juros simples e compostos?

Nos juros simples, os juros incidem só sobre o capital inicial. Nos compostos, incidem também sobre os juros acumulados, por isso crescem mais rápido com o tempo.

Preciso de uma HP 12C para estudar?

Não é obrigatório, mas ajuda muito, principalmente para provas como a CPA. Você pode treinar de graça na nossa calculadora HP 12C online.

Matemática financeira cai na prova da CPA?

Sim. Conceitos como juros compostos, taxa equivalente, rentabilidade real e marcação a mercado aparecem em questões da prova. Treine com o nosso simulado gratuito.

Conteúdo educativo. Os exemplos usam números ilustrativos e não são recomendação de investimento.

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